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Oliver Urso nasceu na Dinamarca a 29 de abril de 1999 em Copenhaga. Desde cedo, mostrou a sua destreza com a bola os pés, começando a dar os primeiros passos no KB Copenhagen na temporada 2002-03, como parte da formação '98. Ainda abaixo da idade, permanece na equipa da sua cidade até 2005-06, para depois passar para o BSV Dinamarca, onde joga três temporadas, vencendo o campeonato Primavera de 2008. 

Em 2008, chega à capital italiana, onde jogou a sua primeira temporada com a camisola do Roma Team Sport em 2008-09, jogando sempre com a formação das classes de 1998, confirmando as boas qualidades já demonstradas. As suas capacidades técnicas não passam despercebidas, pelo que em 2009 Oliver passa a fazer parte do Setor Juvenil do Roma. 

Com a formação amarelo-vermelho, Urso teve um impacto devastador e marcou na primeira temporada, nas fileiras da formação, a beleza de 22 golos em 26 jogos do campeonato. 

Na temporada seguinte, o atacante da nascido '99 repete-se e, no primeiro ano das Provinciais Juvenis, consegue marcar em 18 ocasiões com 28 presenças no ativo. Urso permanece no Roma no ano seguinte, 2011-12, onde arranca muito bem ao marcar à baliza no derby contra a Lazio, que permite que aos amarelos-vermelhos vencerem por 3-2. Dezasseis golos no total no campeonato e prestações importantes também nos torneios disputados pelo Roma no final da temporada, que lhe rendem alguns prémios individuais como melhor jogador. 

No ano seguinte Urso decide deixar o Roma, não renovando o seu contrato anual e passando para o N. Tor Tre Teste, formação amadora romana, dando imediatamente nas vistas no Torneio de Jovens Promessas, onde, na presença de equipas profissionais, ganhou o prémio de melhor jogador do evento. Depois de dois golos no início do campeonato no campo do Albalonga, Oliver continua a dar que falar, concretizando 16 golos em 22 jogos do campeonato.

As suas prestações não passam despercebidas e, depois de ter brilhado também no Torneio Ielasi em janeiro, na Páscoa tem a oportunidade de jogar nas fileiras do Cesena o Torneio Pecci, manifestação nacional muito importante reservada aos Juvenis B. Com a camisola preta e branca joga um grande torneio como centrocampista, mostrando uma grande capacidade de adaptação.

O Cesena aposta nele e, no verão de 2013, conclui a passagem para o preto e branco. No primeiro ano, na Emilia Romagna, Oliver joga com o Cesena o campeonato Juvenis Nacionais, alternando no papel de atacante exterior, três-quartos e médio central. A sua capacidade de concretização é suficiente para entrar em campo mais de dez vezes em 23 presenças.

Na temporada seguinte, no torneio Allievi Nazionali Lega Proo, Urso continua a reunir golos, assistências e prestações importações. No tempo entre dezembro e janeiro põe a sua assinatura nos desafios com o Empoli e a Fiorentina com golos de fino acabamento, antes do feito em casa do Pontedera também vencido graças aos seus dois golos. No final da temporada serão dez os golos que ajudarão o Cesena a vencer no seu grupo, perante a Fiorentina. 

Em 2015-16, Urso faz parte das formações dos Allievi Nazionali do Cesena. Depois de ter deixado boas impressões no Memorial Previdi do início da temporada, Urso começa a acumular excelentes desempenhos e golos importantes, como aquele que permite aos preto e brancos bater em casa oAtalanta. O Cesena sobre na classificação e Urso deixa frequentemente a sua assinatura na tabela dos marcadores, como na façanha registada em casa do Milan, onde a equipa venceu por 3-1 com um hat-trick de Oliver.

No final da temporada, o rol do jovem atacante é de 12 golos em 21 presenças, antes de chegar ao Primavera, onde segue.

No verão de 2018 Oliver assinado por Salernitana e foi emprestado ao Pro Piacenza. Em abril de 2019 Oliver assina em Forlì na Serie D. Em agosto de 2019, Oliver passa para a Viterbese, na Série C