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Oliver Urso nació en Dinamarca el 29 de abril de 1999 en Copenaghe. Ya desde muy temprana edad demostró su habilidad con el balón, dando sus primeros chutes en el KB Copenhaguen en la temporada 2002-03 como parte de la formación '98. También a temprana edad permanece en las filas del equipo de su ciudad natal hasta 2005-06, cuando pasa al BSV Dinamarca, con el que disputa tres estaciones, venciendo el campeonato primavera en 2008. 

En 2008 llega a la capital italiana, donde viste en su primera temporada la camiseta de la Roma Team Sport en la temporada 2008-09, jugando también con la alineación de la quinta de 1998, confirmando las buenas cualidades que apuntaba. Sus habilidades técnicas no pasan desapercibidas, hasta el punto de que en 2009 Oliver se incorpora al Sector Juvenil de la Roma. 

Con la formación rojiamarilla, Urso experimenta un impresionante empujón, marcando en su primera temporada en las filas de la formación amateur nada menos que 22 goles en 26 partidos de campeonato. 

En la siguiente temporada, el delantero nacido en 1999 repite y, en su primer año en Giovanissimi Provinciali logra anotar en 18 ocasiones con 28 presencias activas. Urso permanece en la Roma también en la temporada siguiente, 2011-12, donde tiene un estupendo inicio golpeando la red en el derbi contra el Lazio, que permite a los rojiamarillos ganar por 3-2. Dieciséis goles en total en campeonato y una actuación también destacada en los torneos disputados por la Roma al final de temporada que le valen algunos premios individuales al mejor jugador. 

Al año siguiente Urso decide dejar la Roma al no renovar su ficha anual y se une al N. Tor Tre Teste, formación amateur romana en la que de inmediato destaca en el Torneo Jóvenes Promesas donde, en presencia de equipos profesionales, gana el premio al mejor jugador del evento. Tras el doblete en su primera temporada en el campo de Albalonga, Oliver sigue dando que hablar, marcando 16 goles en 22 partidos de campeonato.

Su actuación no pasa desapercibida y, tras destacar también en el Torneo Ielasi en enero, en Pascua se le presenta la oportunidad de jugar, de prueba en las filas del Cesena, el Torneo Pecci, evento nacional de alta importancia, reservado para Juniors B. Vistiendo la camiseta blanquinegra, realiza un estupendo torneo jugando como medio centro, demostrando su gran capacidad de adaptación. 

El Cesena apuesta por él y, en verano de 2013, su paso al equipo blanquinegro se hace realidad. Durante su primer año en Emilia-Romaña, Oliver disputa con el Cesena el campeonato Juniors Nacionales, alternando roles de punta externa, media punta y medio centro. Su cartilla de goles, sin embargo, no se ve demasiado afectada, anotando nada menos que diez veces en 23 apariciones.

La temporada siguiente, en el torneo Allievi Nazionali Lega Pro, Urso vuelve a reunir goles, asistencias e importantes servicios. Entre diciembre y enero, pone su firma en los encuentros con el Empoli y la Fiorentina con goles de fina factura, antes del remate en casa del Pontedera, derrotado también gracias a un doblete suyo. Al final de la temporada, son diez los goles con los que habrá contribuido a hacer vencer al Cesena en su grupo frente a la Fiorentina. 

En la temporada 2015-16 Urso se incorpora a la formación de Allievi Nazionali del Cesena. Tras dejar impronta en el Memorial Previdi de comienzo de la temporada, Urso comienza a reunir excelentes actuaciones y goles destacados, como el que permite a los blanquinegros hacerse con la victoria en el campo del Atalanta. El Cesena despega en la clasificación y Urso es ya un asiduo de las actas de partido, con goles como el inesperado gol que anota en casa del Milan, donde los blanquinegros vencen por tres a uno, con triplete de Oliver.

Al final de la temporada, el joven delantero acumula un botín de 12 goles en 21 partidos, antes de aterrizar en el Primavera, donde colecciona 

En el verano de 2018 Oliver firmó para Salernitana y fue cedido a Pro Piacenza.  En abril de 2019 Oliver firma para Forlì en la Serie D. En agosto de 2019 Oliver pasa al Viterbese, en la Serie C