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Oliver Urso nasce in Danimarca il 29 Aprile del 1999 a Copenaghen. Fin da piccolo dimostra la sua abilità palla al piede iniziando a muovere i primi calci con il KB Copenaghen nella stagione 2002-03 facendo parte della formazione '98. Sempre sotto età rimane nelle file della squadra della sua città natale fino al 2005-06 prima di passare al BSV Danimarca con cui disputa tre stagioni vincendo il campionato primavera nel 2008. 

Nel 2008 arriva nella capitale italiana dove disputa la sua prima stagione con la maglia della Roma Team Sport nel 2008-09, sempre giocando con la formazione dei classe 1998, a conferma delle  buone qualità messe in mostra. Le sue capacità tecniche non passano inosservate, tanto che nel 2009 Oliver entra a far parte del Settore Giovanile della Roma. 

Con la formazione giallorossa Urso ha subito un impatto devastante e mette a segno nella prima stagione, nelle file della formazione esordienti, la bellezza di 22 reti in 26 partite di campionato. 

Nella stagione successiva l'attaccante classe '99 si ripete e nel primo anno nei Giovanissimi Provinciali riesce ad andare a segno in 18 occasioni con 28 presenze all'attivo. Urso rimane alla Roma anche nell'anno successivo, il 2011-12, dove parte benissimo siglando la rete nel derby contro la Lazio che permette ai giallorossi di vincere per 3-2. Sedici gol complessivi in campionato e prestazioni importanti anche nei tornei disputati dalla Roma a fine stagione che gli valgono qualche premio individuale come miglior giocatore. 

L'anno seguente Urso decide di lasciare la Roma non rinnovando il vincolo annuale ed approdando alla N. Tor Tre Teste, formazione dilettantistica romana, mettendosi subito in mostra nel Torneo Giovani Promesse dove, al cospetto di squadre professioniste, vince il premio come miglior giocatore della manifestazione. Dopo la doppietta all'esordio in campionato sul campo dell'Albalonga Oliver continua a far parlare di sè mettendo a segno 16 gol in 22 partite di campionato.

Le sue prestazioni non passano inosservate e, dopo aver brillato anche nel Torneo Ielasi a gennaio, a Pasqua ha la possibilità di giocare, in prova nelle file del Cesena, il Torneo Pecci, manifestazione nazionale molto importante riservata ai Giovanissimi B. Con la maglia bianconera gioca un grande torneo da centrocampista centrale, dimostrando una grande adattabilità. 

Il Cesena scommette su di lui e nell'estate del 2013 si perfeziona il passaggio in bianconero. Nel primo anno in Emilia Romagna Oliver gioca con il Cesena il campionato Giovanissimi Nazionali, alternandosi nel ruolo di esterno d'attacco, trequartista e centrocampista centrale. Il suo score realizzativo, però, non ne risente tanto da timbrare il cartellino ben ben dieci volte in 23 presenze.

Nella stagione seguente, nel torneo Allievi Nazionali Lega Pro, Urso continua a mettere insieme gol, assist e prestazioni importanti. A cavallo tra dicembre e gennaio mette la sua firma nelle gare con Empoli e Fiorentina con gol di pregevole fattura, prima dell'exploit in casa del Pontedera battuto anche grazie ad una sua doppietta. Alla fine della stagione saranno dieci le marcature che contribuiranno a far vincere al Cesena il proprio girone davanti alla Fiorentina. 

Nel 2015-16 Urso fa parte della formazione degli Allievi Nazionali del Cesena. Dopo aver ben impressionato nel Memorial Previdi di inizio stagione, Urso inizia a mettere insieme ottime prestazioni e gol importanti, come quello che permette ai bianconeri di espugnare il campo dell'Atalanta. Il Cesena vola in classifica ed Urso mette spesso la sua firma nel tabellino dei marcatori, come nell'exploit fatto registrare in casa del Milan dove i bianconeri vincono per tre a uno con una tripletta di Oliver. 

Alla fine della stagione il bottino del giovane attaccante è di 12 gol in 21 presenze, prima dell'approdo in Primavera. . Nell'estate del 2018 Urso si trasferisce alla Salernitana, in Serie B, prima di arrivare in prestito al Pro Piacenza nel mese di agosto (2018). 

Ad Aprile 2019 Oliver firma con il Forlì, in Serie D, collezionando 4 presenze ed un gol nell'ultimo mese di campionato. Ad agosto 2019 Oliver passa alla Viterbese Castrense, in Serie C. Con la formazione gialloblù gioca tre anni collezionando 83 presenze e due gol, tra cui quello decisivo per la permanenza in Serie C nel play-out con la Fermana. A Luglio 2022, dopo tre ottime annate, passa al Novara, sempre in Serie C.